DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON (x+a)^{n}





Para exponente entero y positivo “n

MÉTODO INDUCTIVO

(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+a.b

(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+ac+bc)x
                                             +a.b.c

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x^{4}+(a+b+c+d)x^{3}
                                            +(a.b+a.c+a.d+b.c+b.d+c.d)x^{2}
                                            +(a.b.c+a.b.d+b.c.d+a.c.d)x
                                            +a.b.c.d

Por lo tanto, para “n” factores:

(x+a)(x+b)(x+c)\cdots(x+k)=x^{n}

+S_{1}x^{n-1}+S_{2}x^{n-2}+S_{3}x^{n-3}+P_{n}

S_{1}=Suma de las letras: a+b+c+\ldots+k

S2=Suma de los productos de las “n” letras tomadas de 2 en 2.

S3=Suma de los productos de las “n” letras tomadas de 3 en 3.

Pn=Producto de todas las “n” letras.

Si: a=b=c=\ldots=k\Rightarrow

S_{1}=C_{1}^{n}a=\left(\dfrac{n}{1}\right)a=na

S_{2}=C_{2}^{n}a^{2}=\left(\dfrac{n(n-1)}{1.2}\right)a^{2}

S_{3}=C_{3}^{n}a^{3}=\left(\dfrac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}\right)a^{3}

y así, sucesivamente. Además:

P_{n}=a^{n}

Finalmente:

(x+a)^{n}=x^{n}+C_{1}^{n}x^{n-1}a+C_{2}^{n}x^{n-2}a^{2}

                      +C_{3}^{n}x^{n-3}a^{3}+\ldots+a^{n}

(x+a)^{n}=x^{n}+n.x^{n-1}.a+\dfrac{n(n-1)}{1.2}a^{2}x^{n-2}

                     +\dfrac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}a^{3}.x^{n-3}+\ldots+a^{n}

Ejemplo:

Desarrollar (x+a)^{4}.

(x+a)^{4}=x^{4}+4x^{4-1}a+\dfrac{4(4-1)}{1.2}a^{2}x^{4-2}
                        +\dfrac{4(4-1)(4-2)}{1.2.3}a^{3}x^{4-3}+a^{4}

(x+a)^{4}=x^{4}+4ax^{3}+6a^{2}x^{2}+4a^{3}x+a^{4}



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