FRACCIONES INDETERMINADAS





Matemáticamente, no son definibles:

\dfrac{0}{0} ; \dfrac{\infty}{\infty} ; \infty-\infty ; 0.\infty ; 1^{\infty} ; 0^{0}

A) FORMA \dfrac{0}{0}

Para levantar esta indeterminación debe tenerse en cuenta que tanto en el numerador como en el denominador está el factor cero, que se debe de eliminar, por lo tanto:

  • Se factoriza el numerador y el denominador buscando el factor cero (po r ejemplo: x-a=0, cuando “x” tiende a “a”).
  • Se simplifica en el numerador y denominador de la fracción este factor.
  • Se sustituye nuevamente x=a. Si persiste la indeterminación, se repite hasta hallar el verdadero valor.

Ejemplo:

Hallar el verdadero valor de la fracción:

E=\dfrac{2x^{2}-5x-3}{x^{2}+x-12}, para x=3

E=\dfrac{2(3)^{2}-5(3)-3}{(3)^{2}+(3)-12}=\dfrac{0}{0}

Esta forma es indeterminada, quiere decir que en el numerador y en el denominador hay un factor de la forma “x-a”. Hay que factorizarlo y luego simplificarlo.

1) Factorizando:

E=\dfrac{(2x+1)(x-3)}{(x+4)(x-3)}

ese factor es: “x-3

2) Simplificando:

E=\dfrac{2x+1}{x+4}

3) Para x = 3:

E=\dfrac{2(3)+1}{3+4}=\dfrac{7}{7}=1
\therefore V.V.(E)=1

B) FORMA \dfrac{\infty}{\infty}

Para levantar la indeterminación de esta forma, se divide numerador y denominador entre la máxima potencia de la variable cuya presencia provoca la indeterminación.

REGLA PRÁCTICA:

1) Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el V.V. es \infty; es decir:

si: º|N|>º|D|\Rightarrow V.V.(E)=\infty

2) Si el numerador es de menor grado que el denominador. el V.V. es 0, es decir:

si: º|N|<º|D|\Rightarrow V.V.(E)=\infty

3) Si el numerador y el denominador son de igual grado, el V.V. es un cociente formado por los coeficientes de los términos de máxima potencia del numerador y denominador; es decir:

si: º|N|=º|D|, entonces:

V.V.(E)=\dfrac{\mbox{Coeficiente de mayor grado de N}}{\mbox{Coeficiente de mayor grado de D}}

Ejemplo:

Hallar el V.V. de la fracción:

E=\dfrac{2x^{3}+3x^{2}+3x+7}{6x^{3}+2x^{2}+5x+1}; para x\to\infty

Sustituyendo x por \infty:

E=\dfrac{2(\infty)+3(\infty)+3(\infty)+7}{6(\infty)+2(\infty)+5(\infty)+1}=\dfrac{\infty}{\infty}

Para levantar la indeterminación se divide de numerador y denominador entre la variable elevada a su mayor exponente:

E=\dfrac{\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{3x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{3x}{x^{3}}+\dfrac{7}{x^{3}}}{\dfrac{6x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{5x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}}=\dfrac{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{3}}}{6+\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}

Para (x+\infty):

V.V.(E)=\dfrac{2+0+0+0}{6+0+0+0}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

C) FORMA \infty-\infty

Cuando se presenta esta forma de indeterminación, se lleva a la forma \infty/\infty y se procede como tal.

Ejemplo:

Hallar el V.V. de:

E=\sqrt{2x^{2}+3x+1}-x\sqrt{2}; cuando x\rightarrow\infty

Sustituyendo:

E=\sqrt{2(\infty)+3(\infty)+1}-(\infty)\sqrt{2}=\infty-\infty

Para levantar esta indeterminación se multiplica y divide por la conjugada de la expresión:

E=\dfrac{\left(\sqrt{2x^{2}+3x+1}-x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2x^{2}+3x+1}+x\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2x^{2}+3x+1}+x\sqrt{2}\right)}

Efectuando:

E=\dfrac{2x^{2}+3x+1-2x^{2}}{\sqrt{2x^{2}+3x+1}+x\sqrt{2}}=\dfrac{3x+1}{\sqrt{2x^{2}+3x+1}+x\sqrt{2}}

Dividiendo numerador y denominador entre x:

E=\dfrac{3+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{2}}

Para x\rightarrow\infty:

V.V.(E)=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}

D) FORMA 0.\infty

Cuando una expresión algebraica toma la forma 0.\infty, su V.V. se obtiene efectuando primero las operaciones indicadas y, luego, simplificando y reemplazando x=a. Si subsiste la indeterminación, se transforma a una de las formas anteriores y se procede.

Ejemplo:

Hallar el verdadero valor de:

E=\left(\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{3x-1}\right)\left(\dfrac{7}{x^{2}+6x-16}\right)

para: x=2

Procedimiento:

Para x=2, se obtiene 0.\infty (forma indeterminada)

Efectuando operaciones:

E=\left[\dfrac{3x-1-x-3}{(x+3)(3x-1)}\right]\left[\dfrac{7}{(x+8)(x-2)}\right]

      =\left[\dfrac{2(x-2)}{(x+3)(3x-1)}\right]\left[\dfrac{7}{(x+8)(x-2)}\right]

Simplificando (x-2):

E=\dfrac{14}{(x+3)(3x-1)(x+8)}

para: x=2:

V.V.(E)=\dfrac{14}{(5)(5)(10)}=\dfrac{7}{125}



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