INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO





Son de la forma:

ax_{2}+bx+c>0

ax^{2}+bx+c<0

Se presenta 3 casos:

1er. CASO .- Cuando la inecuación es:

ax^{2}+bx+c>0

Se factoriza el trinomio. Suponiendo que se puede factorizar así: p(x-r_{1})(x-r_{2})>0. Para que esta desigualdad se verifique, ambos factores o son positivos o son negativos, y las soluciones serán las siguientes:

(1)  si son positivos:

x-r_{1}>0 \therefore x>r_{1}

x-r_{2}>0 \therefore x>r_{2}

(2) si son negativos:

x-r_{1}<0 \therefore x<r_{1}

x-r_{2}<0 \therefore x<r_{2}

Ejemplo:

Resolver: x^{2}-7x+12>0

Procedimiento: factorizando el trinomio:

(x-4)(x-3)>0

(1) si son positivos:

x-4>0\therefore x>4

x-3>0\therefore x>3

(2) si son negativos:

x-4<0\therefore x<4

x-3<0\therefore x<3

Conclusión:

La solución es: x>4  \vee  x<3

Primer Caso

2do. CASO.- La inecuación es:

ax^{2}+bx+c<0

Análogamente a la anterior, se factoriza, suponiendo que se puede factorizar así:

(x-r1)(x-r2)<0

Para que esta desigualdad se verifique, un factor debe ser positivo y el otro negativo y las soluciones serán las siguientes:

Si: x-r_{1}<0 \Rightarrow x<r_{1}

    x-r_{2}>0 \Rightarrow x>r_{2}

Si: x-r_{1}>0\Rightarrow x>r1

     x-r_{2}<0\Rightarrow x<r_{2}

Ejemplo:

Resolver: x^{2}-9x+18<0

Procedimiento: Se factoriza el trinomio:

(x-6)(x-3)<0

Casos

En forma de intervalo: x\in(3;6)

Gráficamente:

Segundo Caso

3er. CASO.- Cuando la inecuación es ax^{2}+bx+c>0. y tiene sus raíces complejas, solamente se verifica para ese sentido porque se trata de una desigualdad absoluta.

Ejemplo:

Resolver: x^{2}+x+1>0

PROCEDIMIENTO: Se iguala a cero:

x^{2}+x+1=0

x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}                         x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}

Las raíces son complejas. Por otra parte:

x^{2}+2(x)\left(\dfrac{1}{2}\right)+1>0

x^{2}+2(x)\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}>0

\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}>0

expresión que verifica la desigualdad absoluta.



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