DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO





PROPIEDADES:

El número de términos es infinito, y al desarrollo se le conoce con el nombre de “Serie Binómica de Newton”.

Para determinar el desarrollo de (x+a)^{n}para un número “n” fraccionario y/o negativo, el valor de “x” debe ser uno y además x>a. Los valores de a deben estar en el rango 0<a<1.

Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no guardan ninguna relación.

Para extraer la raíz de un número con aproximación por la serie binómica de Newton, se utiliza la siguiente relación:

\left(1+x\right)^{1/m}=1+\dfrac{1}{m}x

donde: 0<x<1

Ejemplo: Hallar \sqrt[5]{921,6}

\sqrt[5]{1024-102,4}=\sqrt[5]{1024\left(1-\dfrac{102,4}{1024}\right)}
                                  =\sqrt[5]{1024}\left(1-\dfrac{102,4}{1024}\right)^{1/5}
                                  =4\left(1-\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{10}\right)
                                  =4(1-0,02)=4(0,98)=3,92

  \therefore \sqrt[5]{921,6}=3,92

Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza:

t_{k+1}=\dfrac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k-1)}{k!}x^{n-k}a^{k}

Donde:

n= exponente negativo y/o fraccionario

k= lugar del término anterior al pedido

Ejemplo:

Hallar el término 2 del desarrollo de (1-x)^{-3}

t_{1+1}=\dfrac{-3}{1!4!}x^{3-1}(1)^{1}

t_{2}=-3x^{2}



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