DESCOPOSICIÓN DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES





A) Forma:

\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+K}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{A-K}{2}}

Donde: K=\sqrt{A^{2}-B}

Ejemplo: Descomponer en radicales simples:

\sqrt{3+\sqrt{5}}

PROCEDIMIENTO:

\sqrt{3+\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{A+K}{2}}+\sqrt{\dfrac{A-K}{2}}\qquad\quad (1)

Cálculo de K:

K=\sqrt{A^{2}-B}=\sqrt{3^{2}-5}=\sqrt{4}=2

Sustituyendo en (1):

\sqrt{3+\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{3+2}{2}}+\sqrt{\dfrac{3-2}{2}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}

B) Forma:

\sqrt{A+\sqrt{B}+\sqrt{C}+\sqrt{D}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}

Ejemplo:

Descomponer en radicales simples:

\sqrt{10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}

PROCEDIMIENTO:

\sqrt{10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}

Elevando al cuadrado:

10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}=x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}

Identificando las partes racionales e irracionales:

x+y+z=10\qquad\qquad\qquad\quad\quad(1)

2\sqrt{x.y}=2\sqrt{6}\Longrightarrow x.y=6\qquad\quad(2)

2\sqrt{x.z}=2\sqrt{10}\Longrightarrow x.z=10\qquad(3)

2\sqrt{y.z}=2\sqrt{15}\Longrightarrow y.z=15\qquad(4)

Multiplicando: (2) por (3) por (4):

x^{2}y^{2}z^{2}=(3.2)(5.2)(5.3)=2^{2}.3^{2}.5^{2}

\therefore x.y.z=2.3.5\qquad\qquad \qquad(5)

Sustituyendo (2) en (5): z=5

Sustituyendo (3) en (5): y=3

Sustituyendo (4) en (5): x=2

\therefore\sqrt{10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}

C) Forma:

\sqrt[3]{A+\sqrt{B}-\sqrt{C}-\sqrt{D}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y}\pm\sqrt{z}

Se procede igual que la forma anterior.

D) Forma:

\sqrt{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}}=x\pm\sqrt{y}

Llamando:

C=\sqrt[3]{A^{2}-B}

y=x^{2}-C

Se resuelve A=4x^{3}-3xC por tanteos para “x ”.

Ejemplo:

\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}

PROCEDIMIENTO:

\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=x+\sqrt{y}

Ahora cálculo de C:

c=\sqrt[3]{7^{2}-50}=-1

Sustituyendo valores en:

A=4x^{3}-3xC

7=4x^{3}-3x(-1)

7=4x^{3}+3x

Donde por tanteo:

x=1

Sustituyendo valores en:

y=x2-C

y=12-(-1)

y=2

\therefore\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}

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