DIVISIÓN DE POLINOMIOS





Existe los siguientes métodos:

a) MÉTODO NORMAL

1. Se ordenan los polinomios, generalmente en forma descendente.
2. Se escribe éstos en línea horizontal, uno a continuación del otro y utilizando el signo de la división aritmética.
3. Se divide el primer termino del dividendo, entre el primer término del divisor, lo cual da el primer término del cociente.
4. Este primer término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se resta de los correspondiente términos del dividendo.(se cambian de signo los productos).
5. Se incorpora al residuo, el siguiente término del divisor. Se divide el primer término del resto obtenido, entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.
6. Se procede como el paso 4, y así sucesivamente, hasta terminar la división.

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El cociente es: 3x + 7y

El resto es: 8xy^2 + 26y^3

b) MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS

Además de las consideraciones del método normal, debe tenerse en cuenta que:

1. Se trabaja solamente con los coeficientes y sus signos.
2. En caso de faltar un término, se coloca en su lugar cero, tanto en el dividendo como en el divisor.
3. Se procede a dividir estos coeficientes siguiendo los pasos del método normal, de esta manera se obtiene los coeficientes del cociente con sus signos.
4. Para determinar el grado del cociente y el resto se aplica las siguientes propiedades:

º|q|= º|D|-º|d|

º|r|=º|d|-1

5. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo:

6x^{5}-20x^{4}-13x^{3}+25x^{2}-12x+7:\:3x^{2}-x+1

Procedimiento:

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Grado del cociente:

º|q|=º|D|-º|d|=5-2=3

\therefore q=2x3-6x2-7x+8

Grado del resto:

º|r|=º|d|-1=2-1=1

\therefore r=3x-1

c) MÉTODO DE HORNER

Es un caso particular del método de coeficientes separados y se emplea para la división de polinomios de cualquier grado. Se procede así:

1. Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila de izquierda a derecha con su propio signo.
2. Se escribe los coeficientes del divisor en una columna de arriba hacia abajo, a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados.
3. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente, el cual se anota en la última fila del cuadro.
4. Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se les cambio su signo, colocándose los resultados a partir de la segunda columna a la derecha.
5. Se reduce la siguiente columna (efectuando la operación indicada) y se coloca este resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.(en el ejemplo: +14 - 2 = +12).
6. Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la tercera columna a la derecha.
7. Se continúa este procedimiento hasta obtener un término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto. El número de términos del resto está dado por el número de términos que tiene el último paso.
8. Se suma verticalmente obteniéndose los coeficientes del residuo. El grado del cociente y del resto se obtiene tal como se indicó en el Método de Coeficientes separados.

Ejemplo:

8x^{5}+14x^{4}+5x^{3}+16x^{2}+3x+2\,:\,4x^{2}+x+3

Solución:

Grado del cociente:

º|q|=º|D|-º|d|=5-2=3

Grado del residuo:

º|r|=º|d|-1=2-1=1

Procedimiento:

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Cociente:   Q(x)=2x^{3}+3x^{2}-x+2

Resto:    R(x)=4x-4

d) MÉTODO O REGLA DE RUFFINI

Este método se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de primer grado. Se presenta tres casos:

1º Cuando el divisor es de forma (x\pm b)

2º Cuando el divisor es de la forma (ax\pm b)

3º Cuando el divisor es de la forma(ax^n\pm b)

1er. Caso. Forma del divisor: x\pm b

1. Se escribe los coeficientes del dividendo en línea horizontal. Completando previamente, si fuese necesario.
2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y un lugar abajo del primer coeficiente del dividendo.
3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente, es igual al primer coeficiente del dividendo.
4. Para obtener los coeficientes del cociente, se separa la última columna, la cual constituye el resto.

Ejemplo:

4x^{4}-5x^{3}+6x^{2}+7x+8\,:\, x+1

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Grado del cociente:

º|q|=º|D|-º|d|=4-1=3

\thereforeCociente: 4x^{3}-9x^{2}+15-8

Resto:   16

2do. Caso. Forma del divisor:   a.x\pm b

1. Se transforma el divisor a la primera forma, sacando en factor común el primer coeficiente del divisor:

a.x \pm b=a \left( x \pm \dfrac{b}{a} \right)

2. Se divide entre \left( x \pm \dfrac{b}{a} \right) operando como el primer caso.

3. Los coeficientes del cociente obtenido son divididos entre el coeficiente de “x” del divisor.

4. El resto obtenido no se altera.

Ejemplo:

18x^{5}-29x^{3}-5x^{2}-12x-16\div3x+2

Procedimiento:

Factorizando el denominador:

3x+2=3 \left( x+\dfrac{2}{3} \right)

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Grado del cociente:

º|q|= º|D|-º|d|=5-1=4

Verdaderos coeficientes del cociente:

\dfrac{18-12-21+9-18}{3}=6-4-7+3-6

\therefore  Cociente:

q=6x4-4x3-7x2+3x-6

Resto:     r=-4

3er. Caso. Forma del divisor: a . x^n \pm b

La resolución sólo es posible por el método de Ruffini cuando los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos enteros de la variable del divisor. El procedimiento se explica a través del siguiente

ejemplo:

6x^{36}+17x^{27}-16x^{18}+17x^{9}+12\div3x^{9}+1

Procedimiento:

1. Se observa que los coeficientes de la variable del dividendo sean múltiplos del exponente de la variable del divisor.

2. Se factoriza el divisor:

3\left(x^{9}+\dfrac{1}{3}\right)

3. Se divide como en el primer caso.

4. Cada uno de los coeficientes del cociente obtenido, se divide entre coeficiente de “x” del divisor.

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Grado del cociente:

º|q|=º|D|-º|d|=36-9=27

Verdaderos coeficientes del cociente:

\dfrac{6+15-21+24}{3}=2+5-7+8

\therefore    Cociente: 2x^{27}+5x^{18}-7x^{9}+8

Resto:   +4



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