Leyes de las Cuerdas





Si una cuerda fija en el sonómetro, se hace vibrar, se observará la formación de un sistema de ondas estacionarias, debidas a la interferencia que tiene lugar, entre ondas directas y reflejadas. Para que los sistemas de nodos coincidan, la longitud de la cuerda debe ser un múltiplo entero de una semilongitud de onda; tan solo persistirán las frecuencias que satisfagan esta condición.

Cuando se hace vibrar una cuerda, excitándola por su centro, vibrará de la manera más sencilla o sea con formación de nodos en los extremos y con vientre intermedio, si se excita de otra manera, es posible obtener la formación de mayor número de nodos y vientres intermedios, lo cual da origen a la producción de una serie de sonidos de frecuencia creciente, llamados armónicos o sobretonos. En orden a determinar la relación existente, entre las frecuencias de los armónicos, examinemos el aspecto analítico del problema.

Supongamos que la cuerda de nuestro experimento tenga una longitud (L) y que vibra sucesivamente, tal como lo muestra la Fig. 5—2; recordando que la distancia entre dos nodos consecutivos corresponde a media longitud de onda, podemos entonces escribir:

 

vibraciones cuerdas

Las expresiones anteriores se pueden entender fácilmente si se tiene en cuenta, que en el primer armónico o fundamental, la longitud de la cuerda abarca la mitad de la onda, en el segundo, las dos mitades, en el tercero las tres y en el cuarto las cuatro mitades. Ahora bien, si se despeja el valor de la longitud de onda en cada uno de los casos se tiene:

\lambda_{1}=2L       \lambda_{2}=2L/2         \lambda_{3}=2L/3       \lambda_{4}=2L/4

Teniendo en cuenta, que la frecuencia es igual a la velocidad sobre la longitud de onda, entonces las correspondientes frecuencias vendrán dadas por las expresiones:

f_{1}=v/2L     f_{2}=2v/2L     f_{3}=3v/2L      f_{4}=4v/2L

de donde:

f_{k}=kv/2L

en donde (k) representa un número entero cualquiera, siendo de valor 1 para el sonido fundamental o primer armónico y de 2, 3, 4, etc., para los demás armónicos. Para obtener una fórmula que permita el cálculo de la frecuencia con que una cuerda vibra, debemos recordar la fórmula que permite determinar la velocidad con que sé propaga una onda a lo largo de una cuerda, en función de: la tensión a que se halle sometida la cuerda (T) y de la masa de la cuerda, por unidad de superficie (m), que es:

v=\sqrt{\frac{T}{m}}

Ahora bien, si en la expresión:

f_{k}=\frac{kv}{2L}

se despeja el valor de (v) y se compara con el de la ecuación anterior, se llega al siguiente resultado:

\frac{2Lf}{k}=\sqrt{T/m}

f=\frac{k}{2L}\sqrt{\frac{T}{m}}

que rio es sino la conocida fórmula de Taylor. Ahora bien, si se trata de una cuerda de sección circular, es natural que su masa por unidad de longitud (m) podrá sustituirse por su valor:

m=\pi r^{2}d

lo que conduce a otra fórmula que también se utiliza mucho, o sea:

f=\frac{k}{2Lr}\sqrt{\frac{T}{\pi d}}

De las fórmulas deducidas anteriormente se desprenden las siguientes consecuencias que se acostumbran a denominar leyes de las cuerdas y cuya validez puede demostrarse en forma experimental mediante el sonómetro.

Primera ley. La frecuencia de vibración de una cuerda es inversamente proporcional a su longitud.

Segunda ley. La frecuencia de vibración de una cuerda, es inversamente proporcional a su diámetro.

Tercera ley. La frecuencia de vibración de una cuerda, es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión.

Cuarta ley. La frecuencia de vibración de una cuerda, es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa por unidad de longitud.

Las leyes anteriores tienen como expresión analítica la siguiente:

1). \frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{L_{2}}{L_{1}}

2). \frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{D_{2}}{D_{1}}

3). \frac{f_{1}}{f_{2}}=\sqrt{\frac{T_{1}}{T_{2}}}

4). \frac{f_{1}}{f_{2}}=\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}

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