LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS





1. En el primer cuadrante se cumple que el arco es mayor que el seno pero menor que su tangente.

\sin a<a<\tan a

o:

0<a<\dfrac{\pi}{2}

2. Cuando el arco es muy pequeño; es decir, cercano a cero, el seno, el arco y la tangente tienden a confundirse.

\displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{a}{\sin a}=1

\displaystyle \lim_{a\to 0}\dfrac{a}{\tan a}=1

De donde:

\sin a=a=\tan a\Leftrightarrow a\rightarrow 0

Ejemplo: ¿Cuál es el límite de \displaystyle \dfrac{3x}{\sin\dfrac{x}{2}}, cuando x tiende a cero? (x\rightarrow0)

\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin\dfrac{x}{2}}=\lim_{x\to0}\dfrac{3\dfrac{2x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}=\lim_{x\to0}\dfrac{6\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}=6\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}=6.1=6

\displaystyle \therefore\lim_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin\dfrac{x}{2}}=6



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