RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN





PRIMER CASO

Cuando la fracción presenta, en el denominador, radicales en forma de producto.

Ejemplo:

Racionalizar:\dfrac{1}{\sqrt[4]{a}\sqrt[5]{b^{3}}}

PROCEDIMIENTO:

Se multiplica numerador y denominador por el literal elevado a un exponente igual a lo que le falta al exponente del literal para equivaler a la unidad.

De este modo:

\dfrac{1}{\sqrt[4]{a}\sqrt[5]{b^{3}}}=\dfrac{1}{a^{1/4}b^{3/5}}.\dfrac{a^{3/4}.b^{2/5}}{a^{3/4}.b^{2/5}}=\dfrac{\sqrt[4]{a^{3}}.\sqrt[5]{b^{2}}}{a.b}

SEGUNDO CASO

Cuando la fracción presenta en su denominador una suma de raíces algebraicas; para racionalizar, se utiliza el criterio denominado como la conjugada real.

Ejemplo:

i) Racionalizar:\dfrac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

\dfrac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{m}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}.\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}

\dfrac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{m\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}

ii) Racionalizar:\dfrac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a+b}}

\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a+b}}=\dfrac{1}{\left[\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a+b}\right]}.\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}}{\left[\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}\right]}

=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}}{\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}-\left(\sqrt{a+b}\right)^{2}\right]}=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}\right)}{2\sqrt{a.b}}.\dfrac{\sqrt{a.b}}{\sqrt{a.b}}

=\dfrac{\sqrt{a.b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}\right)}{2a.b}

TERCER CASO

Cuando la fracción presenta en su denominador una suma algebraica de radicales de índice superior a 2. Se procede así:

  • Si el índice es una potencia de 2, se utiliza el criterio de la conjugada en forma sucesiva.
  • Si el índice es 3, es necesario tener en cuenta las siguientes identidades:

a+b=\left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}+\left(\sqrt[3]{b}\right)^{3}

=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)

a-b=\left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}-\left(\sqrt[3]{b}\right)^{3}

=\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)

Ejemplo:

Racionalizar:\dfrac{1}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}

Solución:

Multiplicando por la conjugada y luego aplicando las identidades anteriores se logra racionalizar:

\dfrac{1}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}.\dfrac{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}

\dfrac{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}{\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)}.\dfrac{\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)}{\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)}

\dfrac{\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)}{a-b}

CUARTO CASO

Si el índice es mayor que 3, y pertenece a una de las formas:

1) \sqrt[n]{a}\pm\sqrt[n]{b}

2) \sqrt[n]{a^{n-1}}\mp\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^{2}}\mp\sqrt[n]{a^{n-4}b^{3}}+\ldots\mp\sqrt[n]{b^{n-1}}

Previamente, debe recordarse que para todo valor de “n”:

\left(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\right)\left(\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^{2}}+\ldots+\sqrt[n]{b^{n-1}}\right)=a-b

Sin embargo, para valores impares de “n”:

=\left(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\right)\left(\sqrt[n]{a^{n-1}}-\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^{2}}-\ldots+\sqrt[n]{b^{n-1}}\right)=a+b

y, para valores pares de “n”:

=\left(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\right)\left(\sqrt[n]{a^{n-1}}-\sqrt[n]{a^{n-2}b}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^{2}}-\ldots+\sqrt[n]{b^{n-1}}\right)=a-b

Uno de los factores es utilizado como el F.R.

Ejemplo: Racionalizar:

\dfrac{N}{\sqrt[4]{x^{3}}+\sqrt[4]{x^{2}y}+\sqrt[4]{xy^{2}}+\sqrt[4]{y^{3}}}

Si al denominador se le multiplica por \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}, se obtiene x-y, por consiguiente el factor racionalizante es \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}.

E=\dfrac{N\left(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\right)}{x-y}



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